■ 第3章 1節：命題（めいだい）の判定
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の文や式について、「命題であるもの」と「命題ではないもの」に仕分けなさい。さらに、命題であるものについては、それが「真（正しい）」か「偽（間違っている）」かも判定しなさい。
(1)
「 $100$ は大きい数である。」
(2)
「 $3 + 5 = 8$ 」
(3)
「富士山は日本で一番高い山である。」
(4)
「 $2$ は偶数（ぐうすう）ではない。」
(5)
「数学の授業はとてもおもしろい。」
■ 第3章 1節：命題（めいだい）の判定
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の文や式について、「命題であるもの」と「命題ではないもの」に仕分けなさい。さらに、命題であるものについては、それが「真（正しい）」か「偽（間違っている）」かも判定しなさい。
(6)
「三角形の内角の和は $180^\circ$ である。」
(7)
「 $x + 2 = 5$ 」
(8)
「日本で一番広い都道府県は東京都である。」
(9)
「明日のテストは簡単だといいな。」
(10)
「 $1$ 億は $10$ より大きい数である。」
■ 第3章 1節：命題（めいだい）の判定
解答・解説（1）～（5）
(1)
命題ではない
対象外
解説:
「大きい」の基準は人によって変わるため、白黒つけられません。
(2)
命題である
【真】
解説:
計算結果が客観的に正しいとはっきり決まるため、数式も命題です。
(3)
命題である
【真】
解説:
調べれば誰でも「絶対に正しい」と言える客観的な事実です。
(4)
命題である
【偽】
解説:
大注目！
内容は間違いですが、「完全に間違っている」と客観的に判定できるので命題（偽）になります。
(5)
命題ではない
対象外
解説:
個人の感想や好みの文は、人によって判定が変わるため命題になりません。
■ 第3章 1節：命題（めいだい）の判定
解答・解説（6）～（10）
(6)
命題である
【真】
解説:
すべての平面三角形で絶対に成り立つ正しいルールです。
(7)
命題ではない
対象外
解説:
超重要！
$x$ の値が決まるまで正しいか分からないものは、命題ではなく「条件」と呼びます。
(8)
命題である
【偽】
解説:
一番広いのは北海道なので間違いです。はっきり「間違い」と言えるので命題（偽）になります。
(9)
命題ではない
対象外
解説:
「〜だといいな」という願望や命令の文は、正しい・間違っているの判定ができません。
(10)
命題である
【真】
解説:
(1)と違って「10より大きい」と比べる基準が明確なので、客観的に正しい命題になります。
■ 第3章 2節：条件と命題（「ならば」の形）
問題（1）～（5）
【問題】 「$p \implies q$」の形をした次の命題の「真（正しい）」・「偽（間違っている）」を判定しなさい。もし「偽」だと判定した場合は、その証拠となる「反例（はんれい）」も答えなさい。
(1)
「 $x = 3 \implies x^2 = 9$ 」
(2)
「 $x^2 = 9 \implies x = 3$ 」
(3)
「 $x$ が $4$ の倍数ならば、 $x$ は $2$ の倍数である。」
(4)
「 $x$ が $2$ の倍数ならば、 $x$ は $4$ の倍数である。」
(5)
「三角形 $ABC$ が正三角形ならば、その三角形は二等辺三角形である。」
■ 第3章 2節：条件と命題（「ならば」の形）
問題（6）～（10）
【問題】 「$p \implies q$」の形をした次の命題の「真（正しい）」・「偽（間違っている）」を判定しなさい。もし「偽」だと判定した場合は、その証拠となる「反例（はんれい）」も答えなさい。
(6)
「 $x > 0$ かつ $y > 0 \implies xy > 0$ 」
(7)
「 $xy > 0 \implies x > 0$ かつ $y > 0$ 」
(8)
「 $x^2 = y^2 \implies x = y$ 」
(9)
「 $x$ が実数のとき、 $x^2 \geqq 0$ である。」
(10)
「 $n$ が素数（そすう）ならば、 $n$ は奇数（きすう）である。」
■ 第3章 2節：条件と命題（「ならば」の形）
解答・解説（1）～（5）
(1)
【真】
解説:
$x=3$ を2乗したら、絶対に $3^2=9$ になります。例外はないので「真」です。
(2)
【偽】
（反例： $x = -3$ ）
解説:
2乗して9になる数のは $3$ だけではありません。 $x=-3$ のときも $x^2=9$ になるため、これが反例となり「偽」です。
(3)
【真】
解説:
4の倍数（4, 8, 12...）は、どれを引っ張ってきても絶対に2で割り切れます。例外はないので「真」です。
(4)
【偽】
（反例： $x = 2$ などの4の倍数でない偶数）
解説:
2の倍数（偶数）だからといって、必ずしも4の倍数とは限りません（例：$x=2, 6$）。これが反例となり「偽」です。
(5)
【真】
解説:
二等辺三角形のルールは「2つの辺が等しいこと」です。正三角形は「3つの辺が等しい」ので当然満たしており、「真」です。
■ 第3章 2節：条件と命題（「ならば」の形）
解答・解説（6）～（10）
(6)
【真】
解説:
「プラス」と「プラス」を掛け算したら、絶対に「プラス（0より大きい）」になります。例外はないので「真」です。
(7)
【偽】
（反例： $x = -1, y = -1$ など）
解説:
掛け算してプラスになるのは、「マイナス $\times$ マイナス」のパターンもあるため「偽」です。
(8)
【偽】
（反例： $x = 2, y = -2$ など）
解説:
$2^2=4$ と $(-2)^2=4$ で2乗は同じですが、元の数は異なります。これが反例となり「偽」です。
(9)
【真】
解説:
すべての実数は、2乗すると必ず0以上（プラスまたは0）になります。例外は絶対にないので「真」です。
(10)
【偽】
（反例： $n = 2$ ）
解説:
テスト超頻出！
素数（2, 3, 5...）の中で、「2」だけは唯一の偶数であるため、これが強力な反例となり「偽」です。
■ 第3章 3節：必要条件・十分条件の判定
問題（1）～（5）
【問題】 次の
に、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「どちらでもない」のうち、最も適するものを入れなさい。
(1)
$x = 3$ は、 $x^2 = 9$ であるための
である。
(2)
$x^2 = 9$ は、 $x = 3$ であるための
である。
(3)
$x$ が $4$ の倍数であることは、 $x$ が $2$ の倍数であるための
である。
(4)
$x = y$ は、 $x^2 = y^2$ であるための
である。
(5)
三角形 $ABC$ が正三角形であることは、三角形 $ABC$ が二等辺三角形であるための
である。
■ 第3章 3節：必要条件・十分条件の判定
問題（6）～（10）
【問題】 次の
に、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「どちらでもない」のうち、最も適するものを入れなさい。
(6)
$x > 0$ は、 $x \ge 0$ であるための
である。
(7)
$xy > 0$ は、 $x > 0$ かつ $y > 0$ であるための
である。
(8)
$x = 0$ は、 $xy = 0$ であるための
である。
(9)
$\lvert x \rvert = 2$ は、 $x^2 = 4$ であるための
である。
(10)
$x > 1$ は、 $x > 5$ であるための
である。
■ 第3章 3節：必要条件・十分条件の判定
解答・解説（1）～（5）
(1)
十分条件
考え方:
主語は「$x=3$（1つ：狭い）」。相手は「$x=3, -3$（2つ：広い）」。主語の範囲が狭いので【十分条件】です。
(2)
必要条件
考え方:
主語は「$x=3, -3$（2つ：広い）」。相手は「$x=3$（1つ：狭い）」。主語の範囲が広いので【必要条件】です。
(3)
十分条件
考え方:
「4の倍数」と「2の倍数」を比べると、4の倍数の方が数が限定されていて範囲が狭いため【十分条件】です。
(4)
十分条件
考え方:
主語は「$x=y$（狭い）」。相手は「$x=y$ または $x=-y$（広い）」。主語が狭いので【十分条件】です。
(5)
十分条件
考え方:
「正三角形」は形が1つですが、「二等辺三角形」はいろんな形があります。主語の方が範囲が狭いので【十分条件】です。
■ 第3章 3節：必要条件・十分条件の判定
解答・解説（6）～（10）
(6)
十分条件
考え方:
相手は「0より大きい、さらに0も含む」ので広い。主語の方が0がない分範囲が狭いので【十分条件】です。
(7)
必要条件
考え方:
主語は「両方プラス、または両方マイナス（広い）」。相手は「両方プラス（狭い）」なので、主語が広い【必要条件】です。
(8)
十分条件
考え方:
相手は「$x$か$y$のどちらかが0（広い）」。主語は「$x$が0（狭い）」なので、主語が狭い【十分条件】です。
(9)
必要十分条件
考え方:
どちらの条件も、バラすと「$x = 2, -2$」になり、中身がぴったり同じ範囲になるため【必要十分条件】です。
(10)
必要条件
考え方:
主語は「1より大きい（2,3,4もOK：広い）」。相手は「5より大きい（狭い）」。主語の方が範囲が広いため【必要条件】です。
■ 第4章 1節：条件の否定（基本編）
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の条件を否定した（「〜ではない」の形にした）条件を答えなさい。
(1)
$x$ は偶数（ぐうすう）である。
(2)
$x = 5$
(3)
$x > 3$
(4)
$x \le -1$
(5)
$x$ は正の数である。
■ 第4章 1節：条件の否定（基本編）
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の条件を否定した（「〜ではない」の形にした）条件を答えなさい。
(6)
三角形 $ABC$ は正三角形である。
(7)
$x$ は有理数（ゆうりすう）である。
(8)
$x \ne 0$
(9)
$x < 0$
(10)
$x$ は 2 桁（けた）の自然数である。
■ 第4章 1節：条件の否定（基本編）
解答・解説（1）～（5）
(1)
$x$ は奇数（きすう）である
（または「$x$ は偶数ではない」）
解説:
整数の世界では、「偶数」の裏返し（それ以外）はすべて「奇数」になります。
(2)
$x \ne 5$
解説:
「＝」の否定は「 $\neq$ （等しくない）」にするだけでOKです。
(3)
$x \le 3$
解説:
注意！ 「3より大きい」の否定は、境界線である「3ぴったり」も含むため、イコールがついた「3以下（ $\le$ ）」になります。
(4)
$x > -1$
解説:
もともと「 $-1$ 以下（イコールあり）」だったので、否定するとイコールが消えて「 $-1$ より大きい（ $>$ ）」になります。
(5)
$x$ は 0 以下の数である
（または「$x$ は正の数ではない」）
解説:
「正の数（0より大きい）」の裏返しは、「負の数」だけでなく「0」も含まれるため、「0以下」が正しい否定です。
■ 第4章 1節：条件の否定（基本編）
解答・解説（6）～（10）
(6)
三角形 $ABC$ は正三角形ではない
解説:
文の否定は、お尻の形を「〜ではない」に変えるのが基本です。
(7)
$x$ は無理数（むりすう）である
（または「$x$ は有理数ではない」）
解説:
実数の世界は「有理数」と「無理数」の2つしかないので、有理数の裏返しは「無理数」になります。
(8)
$x = 0$
解説:
「0ではない」の裏返し（否定）なので、元に戻って「0である（ $x=0$ ）」になります。
(9)
$x \ge 0$
解説:
「0より小さい（イコールなし）」の否定なので、イコールをつけて「0以上（ $\ge$ ）」になります。
(10)
$x$ は 1 桁以下、または 3 桁以上の自然数である
（または「$x$ は 2 桁の自然数ではない」）
解説:
「2桁（10〜99）」以外のすべての自然数を指すため、「9以下」または「100以上」の数になります。
■ 第4章 2節：「かつ」「または」を含む条件の否定
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の条件を否定した条件を答えなさい。
(1)
$x = 1$ かつ $y = 2$
(2)
$x < 0$ または $y < 0$
(3)
$x$ は 2 の倍数 かつ 3 の倍数である。
(4)
$x \ne 3$ または $y \ne 5$
(5)
$x \ge 2$ かつ $x \le 5$
■ 第4章 2節：「かつ」「または」を含む条件の否定
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の条件を否定した条件を答えなさい。
(6)
$x, y$ のうち、少なくとも一方は偶数である。
(7)
$x = 0$ かつ $y = 0$
(8)
$x > 1$ または $x \le -3$
(9)
$x, y$ はともに正の数である。
(10)
$a = b = c$
■ 第4章 2節：「かつ」「または」を含む条件の否定
解答・解説（1）～（5）
(1)
$x \ne 1$ または $y \ne 2$
解説:
＝ が ≠ になり、間の 「かつ」は「または」にひっくり返ります。
(2)
$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$
解説:
不等号の向きが逆（イコールあり）になり、間の 「または」は「かつ」にひっくり返ります。
(3)
$x$ は 2 の倍数ではない または 3 の倍数ではない
解説:
それぞれを否定形にし、間の「かつ」を「または」に変えます。
(4)
$x = 3$ かつ $y = 5$
解説:
≠ が ＝ に戻り、間の「または」は「かつ」にひっくり返ります。
(5)
$x < 2$ または $x > 5$
解説:
「2以上 かつ 5以下」の否定なので、それぞれの不等号を逆（イコールなし）にして、間を「または」に繋ぎ変えます。
■ 第4章 2節：「かつ」「または」を含む条件の否定
解答・解説（6）～（10）
(6)
$x, y$ はともに奇数である
解説:
「少なくとも一方は偶数」の真逆は、「両方とも偶数ではない（＝ともに奇数）」になります。
(7)
$x \ne 0$ または $y \ne 0$
解説:
各々の ＝ を ≠ にし、「かつ」を「または」に変えます。
(8)
$x \le 1$ かつ $x > -3$
解説:
それぞれの不等号を逆にしてイコールの有無を入れ替え、「または」を「かつ」に変えます。
(9)
$x, y$ のうち、少なくとも一方は正の数ではない（ $x \le 0$ または $y \le 0$ ）
解説:
「ともに正（かつ）」の否定なので、「少なくとも一方は0以下（または）」になります。
(10)
$a \ne b$ または $b \ne c$
解説:
$a=b=c$ は「$a=b$ かつ $b=c$」という意味なので、否定すると「または」で結ばれる形になります。
■ 第4章 2.5節：「すべての」と「ある」の意味を知ろう
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の文が、数学の世界において「真（正しい）」か「偽（間違っている）」かを判定しなさい。
(1)
「すべての実数 $x$ について、 $x^2 \ge 0$ である。」
(2)
「すべての実数 $x$ について、 $x^2 > 0$ である。」
(3)
「ある実数 $x$ について、 $x^2 = 0$ である。」
(4)
「ある実数 $x$ について、 $x^2 < 0$ である。」
(5)
「すべての素数 $n$ は、奇数（きすう）である。」
■ 第4章 2.5節：「すべての」と「ある」の意味を知ろう
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の文が、数学の世界において「真（正しい）」か「偽（間違っている）」かを判定しなさい。
(6)
「ある素数 $n$ は、偶数（ぐうすう）である。」
(7)
「すべての人間は、150歳未満である。」
(8)
「ある人間は、150歳未満である。」
(9)
「すべての自然数 $n$ について、 $n + 1 > 1$ である。」
(10)
「ある自然数 $n$ について、 $n - 5 = 0$ である。」
■ 第4章 2.5節：「すべての」と「ある」の意味を知ろう
解答・解説（1）～（5）
(1)
【真】
解説:
実数は2乗すれば絶対に0以上になります。100%全員が当てはまるので「真」です。
(2)
【偽】
（ダメな例： $x = 0$ ）
解説:
$x=0$ のときは $0^2=0$ となり、「0より大きい」を満たしません。1つでも例外があれば「偽」になります。
(3)
【真】
（成り立つ例： $x = 0$ ）
解説:
「ある」は「1つでも見つかれば勝ち」です。 $x=0$ のときに成り立つので「真」です。
(4)
【偽】
解説:
実数を2乗してマイナスになる数は存在しません。1つも見つからないので「偽」です。
(5)
【偽】
（ダメな例： $n = 2$ ）
解説:
素数の仲間である「2」は偶数です。1つでも例外がいるので「偽」になります。
■ 第4章 2.5節：「すべての」と「ある」の意味を知ろう
解答・解説（6）～（10）
(6)
【真】
（成り立つ例： $n = 2$ ）
解説:
偶数である素数が1つでもあるという意味です。「2」が存在するので「真」になります。
(7)
【真】
解説:
150歳まで生きた人間はいません。100%全員が当てはまるので「真」です。
(8)
【真】
（成り立つ例： あなた や 私）
解説:
150歳未満の人間が1人でもいるという意味です。1人以上確実にいるので「真」です。
(9)
【真】
解説:
自然数は1から始まるので、どれに1を足しても絶対に1より大きくなり、100%成り立ち「真」です。
(10)
【真】
（成り立つ例： $n = 5$ ）
解説:
$n=5$ のときに $5-5=0$ が成り立つので、1つ見つかったため「真」です。
■ 第4章 3節：「すべての」「ある」を含む命題の否定
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の命題を否定した命題を答えなさい。
(1)
すべての実数 $x$ について、 $x^2 \ge 0$ である。
(2)
ある実数 $x$ について、 $x^2 = -1$ である。
(3)
すべての素数 $n$ は、奇数である。
(4)
ある自然数 $n$ について、 $n - 2 < 0$ である。
(5)
すべての人間は、メガネをかけている。
■ 第4章 3節：「すべての」「ある」を含む命題の否定
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の命題を否定した命題を答えなさい。
(6)
ある生徒は、部活動に所属していない。
(7)
すべての $x$ について、 $x + 3 \ne 0$ である。
(8)
ある実数 $x$ について、 $x > 5$ である。
(9)
すべての三角形は、3つの角がすべて等しい。
(10)
少なくとも1つの実数 $x$ について、 $x^2 - 4 = 0$ である。
■ 第4章 3節：「すべての」「ある」を含む命題の否定
解答・解説（1）～（5）
(1)
ある実数 $x$ について、 $x^2 < 0$ である。
解説:
「すべての」を「ある」に変え、後ろの不等号 $\ge$ を $<$ にひっくり返します。
(2)
すべての実数 $x$ について、 $x^2 \ne -1$ である。
解説:
「ある」を「すべての」に変え、お尻の = を ≠ にひっくり返します。
(3)
ある素数 $n$ は、奇数ではない。
（＝偶数である）
解説:
「すべての」を「ある」に変え、お尻を否定形にします。
(4)
すべての自然数 $n$ について、 $n - 2 \ge 0$ である。
解説:
「ある」を「すべての」に変え、不等号 $<$ を $\ge$ に逆転させます。
(5)
ある人間は、メガネをかけていない。
解説:
「全員かけている」の真逆は、「かけていない人が1人でもいる」となるため、「ある人間は〜ない」になります。
■ 第4章 3節：「すべての」「ある」を含む命題の否定
解答・解説（6）～（10）
(6)
すべての生徒は、部活動に所属している。
解説:
「帰宅部が1人でもいる」を否定すると、例外が許されなくなるので「すべての生徒が所属している」になります。
(7)
ある $x$ について、 $x + 3 = 0$ である。
解説:
「すべての」を「ある」に変え、≠ を = に戻します。
(8)
すべての実数 $x$ について、 $x \le 5$ である。
解説:
「ある」を「すべての」に変え、不等号 $>$ を $\le$ に変形します。
(9)
ある三角形は、3つの角がすべて等しいわけではない。
解説:
「すべての」を「ある」に変え、文末を否定形にします。
(10)
すべての実数 $x$ について、 $x^2 - 4 \ne 0$ である。
解説:
「少なくとも1つの」は「ある」と同じ意味なので、否定すると「すべての」に変わり、お尻の = も ≠ になります。
■ 第4章 4節：逆・裏・対偶の真偽判定
問題（1）～（5）
【問題】 次の（1）～（5）の元の命題の真偽を判定しなさい。さらに、その「対偶（たいぐう）」を書き出し、対偶の真偽も判定しなさい。
(1)
$x = 2 \implies x^2 = 4$
(2)
$x^2 = 9 \implies x = 3$
(3)
$x$ が 6 の倍数ならば、 $x$ は 3 の倍数である。
(4)
$x$ が 2 の倍数ならば、 $x$ は 4 の倍数である。
(5)
$x + y = 5 \implies x = 2$ かつ $y = 3$
■ 第4章 4節：逆・裏・対偶の真偽判定
問題（6）～（10）
【問題】 次の（6）～（10）の元の命題の真偽を判定しなさい。さらに、その「対偶（たいぐう）」を書き出し、対偶の真偽も判定しなさい。
(6)
$xy \ne 0 \implies x \ne 0$
(7)
$x^2 \ne y^2 \implies x \ne y$
(8)
$x \le 2 \implies x \le 5$
(9)
$n^2$ が偶数（ぐうすう）ならば、 $n$ は偶数である。
(10)
日本在住ならば、アジア在住である。
■ 第4章 4節：逆・裏・対偶の真偽判定
解答・解説（1）～（5）
(1)
元の命題：
【真】
対偶:
$x^2 \ne 4 \implies x \ne 2$ ⟹
【真】
(2)
元の命題：
【偽】
（反例： $x = -3$ ）
対偶:
$x \ne 3 \implies x^2 \ne 9$ ⟹
【偽】
（反例： $x = -3$ ）
(3)
元の命題：
【真】
対偶:
$x$ が 3 の倍数でないならば、 $x$ は 6 の倍数ではない。 ⟹
【真】
(4)
元の命題：
【偽】
（反例： $x = 2$ ）
対偶:
$x$ が 4 の倍数でないならば、 $x$ は 2 の倍数ではない。 ⟹
【偽】
（反例： $x = 2$ ）
(5)
元の命題：
【偽】
（反例： $x = 1, y = 4$ など）
対偶:
$x \ne 2$ または $y \ne 3 \implies x + y \ne 5$ ⟹
【偽】
（反例： $x = 1, y = 4$ ）
■ 第4章 4節：逆・裏・対偶の真偽判定
解答・解説（6）～（10）
(6)
元の命題：
【真】
対偶:
$x = 0 \implies xy = 0$ ⟹
【真】
解説:
対偶に直すと「$x$が0なら掛け算は0になる」という非常にわかりやすい形になります。
(7)
元の命題：
【真】
対偶:
$x = y \implies x^2 = y^2$ ⟹
【真】
解説:
「同じ数なら2乗しても同じ」という対偶側の方が直感的に真だと見抜けます。
(8)
元の命題：
【真】
対偶:
$x > 5 \implies x > 2$ ⟹
【真】
(9)
元の命題：
【真】
対偶:
$n$ が奇数ならば、 $n^2$ は奇数である。 ⟹
【真】
解説:
証明の超頻出問題です。対偶の「奇数を2乗したら奇数になる」が真なので、元の命題も自動的に真になります。
(10)
元の命題：
【真】
対偶:
アジア在住でないならば、日本在住ではない。 ⟹
【真】